题目内容

（2011•临沂二模）已知向量
a
=（sinx，
3
2
），
b
=（cosx，-1）．
（Ⅰ）若
a
∥
b
，求2cos2x-sin2x的值；
（Ⅱ）若(
a
+
b
) •
b
=
2
4
，且x∈(0，
π
2
)，求x的值．
分析：（I）由
a
∥
b
可得，-sinx-
3
2
cosx=0，化简可求tanx，而2cos2x-sin2x=2cos2x-2sinxcosx=
2cos2x-2sinxcosx
sin2x+cos2x
=
2-2tanx
1+tan2x
代入可求
（II）利用向量的数量积可求(
a
+
b
) •
b
=
2
2
sin(2x+
π
4
)，从而有
2
2
sin(2x+
π
4
)=
2
4
，结合0＜x＜
π
2
可求x
解答：解：（I）由
a
∥
b
可得，-sinx-
3
2
cosx=0
sinx
cosx
=-
3
2
（2分）
tanx=-
3
2
（3分）
则2cos2x-sin2x=2cos2x-2sinxcosx
=
2cos2x-2sinxcosx
sin2x+cos2x
=
2-2tanx
1+tan2x
=
20
13
（6分）
（II）
a
+
b
=(sinx+cosx，
1
2
)
∴(
a
+
b
) •
b
=(sinx+cosx，
1
2
)•(cosx，-1)
=sinxcosx+cos2x-
1
2

=
1
2
sin2x+
1
2
cos2x
=
2
2
sin(2x+
π
4
)（9分）
由
2
2
sin(2x+
π
4
)=
2
4

sin(2x+
π
4
)=
1
2
（10分）
∵0＜x＜
π
2

∴
π
4
＜2x+
π
4
＜
5π
4
（11分）
∴2x+
π
4
=
5π
6

∴x=
7π
24
（12分）
点评：本题主要考查了向量平行的坐标表示及向量的数量积的坐标表示，三角函数的值域的求解，属于三角函数与向量知识的综合性应用．
练习册系列答案
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（2011•临沂二模）已知x＞0，由不等式x+
1
x
≥2
x•
1
x
=2，x+
4
x2
=
x
2
+
x
2
+
4
x2
≥3
3
x
2
•
x
2
•
4
x2
=3，…，可以推出结论：x+
a
xn
≥n+1（n∈N*），则a=（　　）
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4x-y≥0
x≤1
y≥0
，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为
4
4
．
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3
sinx+cosx，下列命题中正确的是（　　）
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