Question

已知a ∈R，函数f（x）= +lnx-1，g（x）=（lnx-1）e^x+x（其中e为自然对数的底数），
（1）判断函数f（x）在(0，e]上的单调性；
（2）是否存在实数x₀∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直? 若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由；
（3）若实数m，n满足m＞0，n＞0，求证：。

Answer 1

解：（1 ）∵，，
∴，
①若，则，在上单调递增； 
②若，当时，，函数在区间上单调递减；
当时，，函数在区间上单调递增；
③若，则，函数在区间上单调递减。
（2）解：∵，，
，
由（1）易知，当时，
在上的最小值：，
即时，，
又，∴，
曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解，
而，即方程无实数解，
故不存在。
（3）证明：
，
由（2）知，
令得。