Question

如图，已知圆心坐标为（

3

，1）的圆M与x轴及直线y=

3

x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=

3

x分别相切于C、D两点．
（1）求圆M和圆N的方程；
（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．

Answer 1

分析：（1）圆M的圆心已知，且其与x轴及直线y=

3

x分别相切于A，B两点，故半径易知，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=

3

x分别相切于C、D两点，由相似性易得其圆心坐标与半径，依定义写出两圆的方程即可．
（2）本题研究的是直线与圆相交的问题，由于B点位置不特殊，故可以由对称性转化为求过A点且与线MN平行的线被圆截得弦的长度，下易解．

解答：解：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半
径，则M在∠BOA的平分线上，
同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA
的平分线，
∵M的坐标为（

3

，1），∴M到x轴的距离为1，即⊙M的半径为1，
则⊙M的方程为(x-

3

)2+(y-1)2=1，（4分）
设⊙N的半径为r，其与x轴的切点为C，连接MA，NC，
由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，
即

2

3+r

=

1

r

得r=3，
则OC=3

3

，则⊙N的方程为(x-3

3

)2+(y-3)2=9；（8分）
（2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙N截得的弦的长度，
此弦的方程是y=

3

3

(x-

3

)，即：x-

3

y-

3

=0，
圆心N到该直线的距离d=

3

2

，则弦长=2

r2-d2

=

33

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系以及直线与圆相交的性质，属于直线与圆的方程中综合性较强的题型，题后注意题设中条件转化的技巧．