Question

设，且，其中当为偶数时，；当为奇数时，．
（1）证明：当，时，；
（2）记，求的值．

Answer 1

(1)证明见解析；(2)

解析试题分析：（1）从题设可以看出本题要分类，按的奇偶性来分类，如当为奇数时，都是偶数，，，，
通过计算，应用公式可得结论，当然为偶数时也同样证明；（2）待求式子比较难，，
把的系数变为1，有

由公式，上式可变为
，而由（1）可得数列是周期为6的周期数列，故，从而计算得.
试题解析：（1）当为奇数时，为偶数，为偶数，
∵，，
，
∴
=．
∴当为奇数时，成立．       5分
同理可证，当为偶数时，也成立．       6分
（2）由，得

=
=
=．       9分
又由，得，所以，．    10分
考点：组合数的性质，周期数列