Question

已知函数f(x)=|1-

1

x

|．
（1）是否存在a＜b且a，b∈[1，+∞），使得当函数f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[

1

8

a，

1

8

b]？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由；
（2）若存在实数a，b（a＜b），使得函数f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]（m≠0），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数的单调性，确定函数的最值，即可求得结论；
（2）分类讨论，确定函数的单调性，结合函数的值域，即可求实数m的取值范围．

解答：解：（1）若存在，则由于当a，b∈[1，+∞）时，f(x)=1-

1

x

在[1，+∞）单调递增，则f(a)=

1

8

a，f(b)=

1

8

b，可知a，b是方程x²-8x+8=0的实根，求得a=4-2

2

，b=4+2

2

满足条件…..（6分）
（2）若存在，则易知m＞0，a＞0
当a，b∈（0，1）时，由于f(x)=

1

x

-1在（0，1）单调递减，则可得f（a）=mb，f（b）=ma，则得

1

a

-1=mb，

1

b

-1=ma，相减得

b-a

ab

=m(b-a)，
由于a≠b，则m=

1

ab

，所以

1

a

-1=mb=

1

a

，∴-1=0，这是不可能的，
故此时不存在实数a，b满足条件；…（8分）
当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，显然1∈[a，b]，而f（1）=0则0∈[a，b]，矛盾．
故此时也不存在实数a，b满足条件；…（10分）
当a，b∈[1，+∞）时，由于f(x)=1-

1

x

在[1，+∞）单调递增，则f（a）=ma，f（b）=mb，
∴a，b是方程mx²-x+1=0的两个大于1的实根，
∴由△＞0，

1± 1-4m

2m

＞1可得m的取值范围是(0，

1

4

)．…（14分）

点评：本题考查函数与方程的综合运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．