题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ -2cos²x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（ $数学公式$ ）；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

解：（Ⅰ）∵函数f（x）= $\text{[math]}$ -2cos²x+1= $\text{[math]}$ sin2x-cos2x=2sin（2x- $\text{[math]}$ ），…..（4分）
∴f（ $\text{[math]}$ ）=2sin（2× $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=2× $\text{[math]}$ =1．（6分）
（Ⅱ）函数f（x）=2sin（2x- $\text{[math]}$ ）的最小正周期 T= $\text{[math]}$ =π，…（8分）
又由 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，
故函数的单调递增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．…（13分）
分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x- $\text{[math]}$ ），由此求得 f（ $\text{[math]}$ ）的值．
（Ⅱ）根据函数f（x）的解析式求得它的周期，由 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得x的范围，即可求得函数的单调递增区间．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的周期性和求法，求复合三角函数的单调区间，属于中档题．