题目内容

设f1(x)＝|x－1|，f2(x)＝－x2＋6x－5，函数g(x)是这样定义的：当f1(x)≥f2(x)时，g(x)＝f1(x)；当f1(x)＜f2(x)时，g(x)＝f2(x)，若方程g(x)＝a有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是

[　　]
A．

3＜a＜4

B．

0＜a＜4

C．

0＜a＜3

D．

a＜4

答案：A
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设f1(x)＝|x－1|，f2(x)＝－x2＋6x－5，函数g(x)是这样定义的：当f1(x)≥f2(x)时，g(x)＝f1(x)；当f1(x)＜f2(x)时，g(x)＝f2(x)，若方程g(x)＝a有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是

[　　]
A．

3＜a＜4

B．

0＜a＜4

C．

0＜a＜3

D．

a＜4

设集合M是满足下列条件的函数f(x)的集合：

①f(x)的定义域为R；

②存在a＜b，使f(x)在(－∞，a)，(b，＋∞)上分别单调递增，在(a，b)上单调递减．

(Ⅰ)设f1(x)＝x·|x－2|，f2(x)＝x3－3x2＋3x，判断f1(x)，f2(x)是否在集合M中，并说明理由；

(Ⅱ)求证：对任意的实数t，f(x)＝都在集合M中；

(Ⅲ)是否存在可导函数f(x)，使得f(x)与g(x)＝(x)－x都在集合M中，并且有相同的单调区间？请说明理由．

设h(x)＝x＋，x∈[，5]，其中m是不等于零的常数，

(1)m＝1时，直接写出h(x)的值域

(2)求h(x)的单调递增区间；

(3)已知函数f(x)(x∈[a，b])，定义：f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])．其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值．例如：f(x)＝cosx，x∈[0，π]，则f1(x)＝cosx，x∈[0，π]，f2(x)＝1，x∈[0，π]，当m＝1时，|h1(x)－h2(x)|≤n恒成立，求n的取值范围；

对于函数f1(x)，f2(x)，h(x)，如果存在实数a，b使得h(x)＝a·f1(x)＋b·f2(x)，那么称h(x)为f1(x)，f2(x)的生成函数．

(Ⅰ)下面给出两组函数，h(x)是否分别为f1(x)，f2(x)的生成函数？并说明理由；

第一组：f1(x)＝sinx，f2(x)＝cosx，h(x)＝sin(x＋)；

第二组：f1(x)＝x2－x，f2(x)＝x2＋x＋1，h(x)＝x2－x＋1；

(Ⅱ)设f1(x)＝log2x，f2(x)＝logx，a＝2，b＝1，生成函数h(x)．若不等式3h2(x)＋2h(x)＋t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；

(Ⅲ)设f1(x)＝x，f2(x)＝(1≤x≤10)，取a＝1，b＞0，生成函数h(x)使h(x)≥b恒成立，求b的取值范围．

对于函数f1(x)，f2(x)，h(x)，如果存在实数a，b使得h(x)＝a·f1(x)＋b·f2(x)，那么称h(x)为f1(x)，f2(x)的生成函数．

(Ⅰ)下面给出两组函数，h(x)是否分别为f1(x)，f2(x)的生成函数？并说明理由；

第一组：f1(x)＝sinx，f2(x)＝cosx，h(x)＝sin(x＋)；

第二组：f1(x)＝x2－x，f2(x)＝x2＋x＋1，h(x)＝x2－x＋1；

(Ⅱ)设f1(x)＝log2x，f2(x)＝logx，a＝2，b＝1，生成函数h(x)．若不等式3h2(x)＋2h(x)＋t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；

(Ⅲ)设f1(x)＝x，f2(x)＝(1≤x≤10)，取a＝1，b＞0，生成函数h(x)使h(x)≥b恒成立，求b的取值范围．

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