Question

双曲线

x2

4

-

y2

12

=1上一点P到左焦点距离与到右准线的距离相等，则P点到x轴的距离为

15

．

Answer 1

分析：由题意可得：双曲线的准线方程为：x=±1，并且设点P到左焦点距离的距离为d，再分别讨论点P的位置，得到点P到左准线的距离，再由双曲线的第二定义得到d的数值，进而得到点P到y轴的距离，即可得到答案．

解答：解：由题意可得：双曲线

x2

4

-

y2

12

=1的准线方程为：x=±

a2

c

=±1，并且设点P到左焦点距离的距离为d，
当点P（x₀，y₀）为双曲线右支上的一点时，点P到左准线的距离为d+2，
由双曲线的第二定义可得：

d

d+2

= e=2，
解得：d=-4（舍去），所以此时不符合题意．
当点P为双曲线左支上的一点时，点P到左准线的距离为d-2，
由双曲线的第二定义可得：

d

d-2

= e=2，
解得：d=4，
所以点P到y轴的距离为3，即|x₀|=3，
所以P点到x轴的距离|y₀|为

15

．
故答案为：

15

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握双曲线的第二定义，以及双曲线的性质与标准方程，此题考查分类讨论的数学思想．