Question

已知二次函数f（x）=-x²+2（m+1）x+m+3与x轴有两个交点A（x₁，0）和B（x₂，0），若，且x₁＞0，x₂＜0|x₁|=3|x₂|．
（Ⅰ）求此二次函数的解析式；
（Ⅱ）若y=f（x）在闭区间[t，t+1]（t∈R）的最大值为g（t），求y=g（t）的解析式及其最大值．

Answer 1

分析：（I）由已知可得x₁=-3x₂，结合方程的根与系数关系可得x₁+x₂=2（m+1），从而可求x₂，建立关于m的方程可求m，进而可求函数解析式
（Ⅱ）结合二次函数的性质，讨论对称轴x=1与区间[t，t+1]的位置关系，结合函数在区间的单调性即可求解

解答：解：（Ⅰ）∵x₁＞0，x₂＜0，|x₁|=3|x₂|
∴x₁=-3x₂又x₁+x₂=2（m+1），
∴x₂=-（m+1）
由x₁x₂=-（m+3）得到-3x22=-(m+3)
即3x22=(m+3)，
∴3（m+1）²=m+3
∴m=0或m=-

5

3

（舍去，因为m＞-1），
∴f（x）=-x²+2x+3
（Ⅱ）∵函数的对称轴x=1
①当t≥1时，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减
∴g（t）=f（t）=-t²+2t+3
②当t+1≤1即t≤0时，g（t）=f（t+1）=-t²+4t
③当0＜t＜1时，g（t）=f（1）=4
∴y=g（t）的最大值为4

点评：本题主要考查了二次函数与二次方程的关系，方程的根与系数关系的应用，及二次函数在闭区间上的最值求解的应用．