Question

已知函数f(x) = lg

1-x

1+x

．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求该函数的反函数f^-1（x）；
（3）判断f^-1（x）的奇偶性．

Answer 1

分析：（1）由

1-x

1+x

＞0 解得-1＜x＜1，即得函数的定义域．
（2）由函数的解析式求出自变量，再把自变量和函数交换位置，即得反函数的解析式，注明反函数的定义域．
（3）由f^-1（-x）=

1-10-x

1+10-x

=

10x-1

1+10x

=-f^-1（x），可得 f^-1（x）是奇函数．

解答：解：（1）由

1-x

1+x

＞0 解得-1＜x＜1，故函数的定义域是（-1，1）．
（2）由y= lg

1-x

1+x

，得10y= 

1-x

1+x

（y∈R），所以，x=

1-10y

1+10y

，
所求反函数为  f^-1（x）=

1-10x

1+10x

（x∈R）．
（3）f^-1（-x）=

1-10-x

1+10-x

=

10x-1

1+10x

=-f^-1（x），所以，f^-1（x）是奇函数．

点评：本题考查求函数的定义域，求反函数，以及函数的奇偶性的判断方法，求出反函数，是解题的难点．