Question

在锐角△ABC中，A、B、C三内角所对的边分别为a、b、c．设

m

=(cosA，sinA)，

n

=(cosA，-sinA)，a=

7

，且

m

•

n

=-

1

2

（Ⅰ）若b=3，求△ABC的面积；
（Ⅱ）求b+c的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由

m

•

n

=-

1

2

得cos2A-sin2A=-

1

2

利用二倍角公式求得cos2A=-

1

2

结合余弦定理得出c=2即可求得△ABC的面积．
（II）利用余弦定理得出b²+c²-bc=7结合基本不等式即可求得b+c的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由

m

•

n

=-

1

2

得cos2A-sin2A=-

1

2

即cos2A=-

1

2

，∵0＜A＜

π

2

0＜2A＜π∴2A=

2π

3

，A=

π

3

由a²=b²+c²-2bccosA
得c²-3c+2=0∴c=1或2∵c=1时，cosB＜0，∴c=1舍去，
∴c=2∴S=

1

2

b•c•sinA=

1

2

×3×2×sin

π

3

=

3 3

2

．
（Ⅱ）a²=b²+c²-2bccosA∴b²+c²-bc=7
(b+c)2=3bc+7≤3(

b+c

2

)2+7∴(b+c)2≤28b+c≤2

7

当且仅当时b=c取等号∴(b+c)max=2

7

．

点评：本题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力，解答关键是在求最值的问题上，常用基本不等法来求．