题目内容
17．已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，n=$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；
②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；
③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；
④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=-n．
其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．
分析 运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；
通过函数h（x）=x2+ax-2x，求出导数判断单调性，即可判断③；
通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．
解答 解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；
对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（-∞，-$\frac{a}{2}$）递减，在（-$\frac{a}{2}$，+∞）递增，则n＞0不恒成立，
则②错误；
对于③，由m=n，可得f（x1）-f（x2）=g（x1）-g（x2），即为g（x1）-f（x1）=g（x2）-f（x2），
考查函数h（x）=x2+ax-2x，h′（x）=2x+a-2xln2，
当a→-∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；
对于④，由m=-n，可得f（x1）-f（x2）=-[g（x1）-g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，
h′（x）=2x+a+2xln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．
故答案为：①④．
点评 本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．
练习册系列答案
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8．若函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-a}$是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（ ）
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12．设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（ ）
| A． | 充要条件 | B． | 充分不必要条件 | ||
| C． | 必要不充分条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
9．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β“是“α∥β”的（ ）
| A． | 充分而不必要条件 | B． | 必要而不充分条件 | ||
| C． | 充分必要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：