Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=

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a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．
（Ⅰ）证明：对任意实数λ，数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅱ）证明：当λ≠-18时，数列{b_n}是等比数列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）假设存在一个实数?，使{a_n}是等比数列，由题意知（

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λ-3）²=λ(

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λ-4)?

4

9

λ² -4λ+9=

4

9

λ2-4λ?9=0，矛盾．所以{a_n}不是等比数列．
（Ⅱ）由题设条件知b₁=-（λ+18）≠0．b_n≠0，∴

bn+1

bn

=-

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(n∈Nn)，故当λ≠-18，时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-

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为公比的等比数列．

解答：证明：（Ⅰ）假设存在一个实数λ，使{a_n}是等比数列，则有a²₂=a₁a₃，即 (

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λ-3)2=λ(

4

9

λ-4)?

4

9

λ2-4λ+9=

4

9

λ2-4λ?9=0，矛盾．
所以{a_n}不是等比数列．
（Ⅱ）∵bn+1=(-1)n+1[aa+1-3{n+1}+21]=(-1)n+1(

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an-2n+14)
=-

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3

(-1)，(an-3n+21)=-

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bn．
λ≠-18，∴b₁=-（λ+18）≠0．
由上式知 b_n≠0，∴

bn+1

bn

=-

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3

(n∈Nn)，
故当λ≠-18，时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-

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为公比的等比数列．

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用．对于证明数列不是等比数列的问题实际上不好表述，我们可以选择反证法来证明，假设存在推出矛盾．