Question

【题目】已知函数，当时，取得极小值.

（1）求的值；

（2）记，设是方程的实数根，若对于定义域中任意的，.当且时，问是否存在一个最小的正整数，使得恒成立，若存在请求出的值；若不存在请说明理由.

（3）设直线，曲线.若直线与曲线同时满足下列条件：

①直线与曲线相切且至少有两个切点；

②对任意都有.则称直线与曲线的“上夹线”.

试证明：直线是曲线的“上夹线”.

Answer 1

【答案】(1)，；(2)答案见解析；(3)证明见解析.

【解析】

(1)由题意可得，，据此可得的值，然后验证所得的结果满足题意即可；(2)首先由函数的单调性确定的值，然后求得函数的最大值和最小值，结合恒成立的条件即可确定的值； (3)由题意首先证得直线与曲线相切且至少有两个切点，然后令，，易证明，据此即可证明直线是曲线的“上夹线”.

(1)由已知，于是得：，

代入可得：，.

此时，.所以.

当时，；当时，.

所以当时，取得极小值，即，符合题意.

(2)，则.所以单调递增，又.

为的根，即，也即.

，.

，

所以存在这样最小正整数使得恒成立.

(3)由，得 ，

当时，.

此时，

所以是直线与曲线的一个切点，

当，此时，.

所以也是直线与曲线的一个切点，

即直线与曲线相切且至少有两个切点，

对任意，.

即，因此直线是曲线的“上夹线”.