Question

已知函数f(x)=

x2

ax+b

（a，b为常数）且方程f（x）-x+12=0有两个实根为x₁=3，x₂=4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当k＞0时，解关于x的不等式：f(x)＜

x(x-k)

2-x

．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f(x)=

x2

ax+b

（a，b为常数）且方程f（x）-x+12=0有两个实根为x₁=3，x₂=4，代入可构造关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，是解答本题的关键．
（2）由（1）中函数的解析式，可将不等式f(x)＜

x(x-k)

2-x

转化为一个分式不等式的形式，进而解答得到答案．

解答：解：（1）将x1=3，x2=(4分)别代入方程

x2

ax+b

-x+12=0得

9 3a+b =-9 16 4a+b =-8

，
解得

a=-1 b=2

，所以f(x)=

x2

2-x

(x≠2)（8分）
（2）不等式即为

x2

2-x

＜

x(x-k)

2-x

，可化为kx（x-2）＞0．
当k＞0时，不等式的解集为（-∞，0）∪（2，+∞）．（14分）

点评：本题考查的知识点是函数解析式的求解方法，一元二次不等式的应用，其中（1）的关键是根据已知条件构造关于关于a，b的方程组，（2）的关键是将原不等式化为一个分式不等式，在解答（2）时，易忽略（x-2）的符号不确定，而错解为（-∞，0）