Question

已知递增数列的前项和为,且满足,.设,且数列的前项和为.

(1) 求证:数列为等差数列；

(2) 试求所有的正整数,使得为整数；

(3) 若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.

Answer 1

 (1)由,得,

所以,即,即,

所以或,

即或,

若,则有,又,所以,则,这与数列递增矛盾,所以,故数列为等差数列.

(2) 由（1）知,所以

,

因为,所以,又且为奇数,所以或,故的值为或.

(3) 由(1)知,则,

所以

,

从而对任意恒成立等价于,

当为奇数时,恒成立,

记,则,当时取等号,所以,

当为偶数时,恒成立.

记,因为递增,所以,

所以.综上,实数的取值范围为.