Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=2，n•a_n+1=S_n+n（n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令bn=(

2

3

)n•Sn，是否存在正整数m，使得对一切正整数n，总有b_n≤m？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）把n=1代入已知的等式，由S₁=a₁=2，得到第2项与第1项的差为常数2，然后由已知的等式，记作①和把n换为n-1得到另外一个等式，记作②，①-②化简后，得第n+1项与第n项的差也为常数2，综上，得到此数列为首项是2，公差也是2的等差数列，写出通项公式即可；
（2）存在．原因是：根据（1）求出的首项和公差利用等差数列的前n项和公式表示出S_n，代入已知的bn=(

2

3

)n•Sn中，化简可得b_n的通项公式，求出

bn+1

bn

大于等于1时x的范围，即可得到第四项与第五项相等且为最大项，把n=4或5代入b_n的通项公式即可求出最大项的值，令m大于等于求出的最大项的值，在解集中求出正整数m的最小值即可．

解答：解：（1）把n=1，代入n•a_n+1=S_n+n（n+1）得：
1•a₂=S₁+1=a₁+1=2+1=3，即a₂-a₁=2，
由

n•an+1=Sn+n(n+1)① (n-1)•an=Sn-1+n(n-1)②

，
①-②得：n•a_n+1-（n-1）•a_n=a_n+2n，
化简得：a_n+1-a_n=2（n≥2），
∵a₂-a₁=2，∴a_n+1-a_n=2（n∈N⁺），
即数列{a_n}是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n=2+2（n-1）=2n；

（2）存在．
∵a_n=2n，∴S_n=2n+

n(n-1)

2

×2=n（n+1），
则b_n=(

2

3

)n•S_n=(

2

3

)n•n（n+1），
∴

bn+1

bn

=

2

3

（1+

2

n

）≥1，解得n≤4，
∴b₁＜b₂＜b₃＜b₄=b₅＞b₆＞b₇＞…＞b_n＞…
∴b₄=b₅=

320

81

最大，
∴m≥

320

81

，又m为正整数，
∴m的最小值为4．

点评：此题考查学生利用数列的递推式推断出数列为等差数列，掌握不等式恒成立时满足的条件，灵活灵活等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，是一道中档题．