Question

已知θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=-

1

3

，则cos2θ的值为（　　）

• A．-

  17

  9

• B．±

  17

  9

• C．

  17

  9

• D．-

  8

  9

Answer 1

分析：把已知的等式左右两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的平方关系sin²θ+cos²θ=1化简，求出2sinθcosθ的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间的平方关系sin²θ+cos²θ=1化简（sinθ-cosθ）²，把2sinθcosθ的值代入求出（sinθ-cosθ）²的值，由α的范围判断出sinθ和cosθ的正负，进而得到sinθ-cosθ为正，开方可得sinθ-cosθ的值，与已知的等式联立求出sinθ和cosθ的值，最后利用二倍角的余弦函数公式化简所求的式子，将求出sinθ和cosθ的值，即可求出所求式子的值．

解答：解：把sinθ+cosθ=-

1

3

①两边平方得：
（sinθ+cosθ）²=sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ=

1

9

，
∴2sinθcosθ=-

8

9

则（sinθ-cosθ）²=sin²θ+cos²θ-2sinθcosθ=1-2sinθcosθ=

17

9

∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，cosθ＜0∴sinθ-cosθ＞0，
∴sinθ-cosθ=

17

3

②，
联立①②解得：sinθ=

17 -1

6

，cosθ=-

17 +1

6

，
则cos2θ=cos²θ-sin²θ=

17

9

．
故选C

点评：本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式的应用，考查计算能力．