Question

方程2x³+5x-2=0有唯一实根r，且存在唯一严格递增的正整数数列a_n，使得

2

5

=

lim

n→∞

(ra1+ra2+ra3+…+ran)成立，则a_n=

 

．（n∈N^*）

Answer 1

分析：由方程2x³+5x-2=0有唯一实根r，0＜r＜1，r³+5r-2=0，对数列进行求和，然后代入极限公式即可求解

解答：解：设f（x）=2x³+5x-2，则可知函数 f（x）单调递增，
因为方程2x³+5x-2=0有唯一实根r，且f（0）=-2＜0，f（1）=5＞0
所以0＜r＜1，r³+5r-2=0①
a_n是严格递增的正整数数列，则由题意可得数列为等差数列
，ra1+ra2+…+ran=

ra1[1-(rd) n]

1-rd

∴

lim

n→∞

(ra1+ra2+…+ran)=

r

1-rd

=

2

5

②
①代入②可得，d=3，a_n=3n-2
故答案为：a_n=3n-2

点评：本题主要考查了高次方程的根的 求解，数列的和公式的应用，数列极限的求解，利用了整体代换的技巧，考查了逻辑推理的能力．