Question

（本小题满分13分）

如图所示，在正方体中，E是棱DD1的中点。

（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；

（II）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1BE? 证明你的结论。

 

Answer 1

（本小题满分13分）

如图所示，在正方体中，E是棱DD1的中点。

（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；

（II）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1BE? 证明你的结论。

解：（Ⅰ）如图（a）所示，取的中点M，连结EM，BM．

因为E是的中点，四边形为正方形，所以．

又在正方体中，

平面，所以平面，

从而BM为直线BE在平面上的射影，

为BE和平面所成的角．…………3分

设正方体的棱长为２，则，．

于是，在中，

即直线BE和平面所成的角的正弦值为．………………………6分

（II）在棱上存在点F，使平面．

事实上，如图（b）所示，分别取和的中点，连结．

因，且，所以四边形为平行四边形，

因此．又分别为，的中点，

所以，从而这说明共面．…………………10分

所以平面．因四边形与皆为正方形，

分别为和的中点，所以,且，

因此四边形为平行四边形，所以．

而平面，平面，故平面．………………13分