Question

如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，AD=

3

2

，BC=

1

2

•椭圆F以A、B为焦点且过点D．
（I）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点E满足

EC

=

1

2

AB

，是否存在斜率k≠0的直线l与椭圆F交于MN两点，且|ME|=|NE|，若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，设出椭圆的方程，根据点D在椭圆上，以及c=1，求出 a、b值，即得椭圆F的方程．
（Ⅱ）点斜式设出直线方程代入椭圆的方程，则可得判别式大于0，即4k²-m²+3＞0．由PE⊥MN，斜率之积等于-1，求得m、k间的关系，代入4k²-m²+3＞0 可解得k取值范围．

解答：解：（I）以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图
则A（-1，0），B（1，0），D(-1，

3

2

)．
设椭圆F的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由

(-1)2 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1 a2=b2+1

 得4a⁴-17a²+4=0，∵a²＞1，
∴a²=4，b²=3． 所求椭圆F方程

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由

EC

=

1

2

AB

得 E(0，

1

2

)．
显然l⊥AB时不合条件，设l方程y=kx+m（k≠0）代入

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
l与椭圆F有两不同公共点的充要条件是△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即4k²-m²+3＞0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），中点为P（x₀，y₀），|ME|=|NE|等价于PE⊥MN，
∵2x0=x1+x2=

-8km

3+4k2

，∴x0=-

4km

3+4k2

，y0=kx0+m=

6m

3+4k2

．
PE⊥MN，得

y0- 1 2

x0

=-

1

k

，得

6m 3+4k2 - 1 2

-4km 3+4k2

=-

1

k

，得m=-

3+4k2

2

．
代入△＞0得 4k2+3-(

4k2+3

2

)2＞0，∵0＜4k²+3＜4 得 k2＜

1

4

．
又∵k≠0，故k取值范围为k∈(-

1

2

，0)∪(0，

1

2

)．

点评：本题考查椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系，体现了数形结合的思想，式子的化简变形是解题的易错点．