题目内容
在△ABC中，角A，B，C的对边依次为a，b，c，且A，B，C依次成等差数列．（1）若
| AB |
| BC |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
（2）若A＜C，求2sin2A+sin2C的取值范围．
分析：（1）先由等差数列的知识求出角B的值，再由两向量的数量积运算求出a与c的乘积，最后根据余弦定理a+c的值．
（2）先根据二倍角公式对2sin2A+sin2C进行降幂，再将A的关系转化为C的关系，最后根据C的范围求出最后答案．
（2）先根据二倍角公式对2sin2A+sin2C进行降幂，再将A的关系转化为C的关系，最后根据C的范围求出最后答案．
解答：解：（1）∵A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=
，
由
•
=-
得，c•acos
=-
，∴ac=3，①
又由余弦定理得b2=a2+c2-2accos
，∴3=a2+c2-ac，∴a2+c2=6②
由①、②得，a+c=2
．
（2）∴B=60°，∴A=120°-C，
2sin2A+sin2C=2-2cos2A+1-cos2C
=3-2cos（240°-2C）+cos2C
=3-2cos240°cos2C-2sin240°sin2C-cos2C
=3+sin2C
又0°＜A＜C，可得60°＜C＜120°，即120°＜2C＜240°，
∴-
＜sin2C＜
，
＜
（3+sin2C）＜
，
即2sin2A+sin2C的取值范围是（
，
）．
| π |
| 3 |
由
| AB |
| BC |
| 2 |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
又由余弦定理得b2=a2+c2-2accos
| π |
| 3 |
由①、②得，a+c=2
| 3 |
（2）∴B=60°，∴A=120°-C，
2sin2A+sin2C=2-2cos2A+1-cos2C
=3-2cos（240°-2C）+cos2C
=3-2cos240°cos2C-2sin240°sin2C-cos2C
=3+sin2C
又0°＜A＜C，可得60°＜C＜120°，即120°＜2C＜240°，
∴-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
即2sin2A+sin2C的取值范围是（
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
点评：本题主要考查余弦定理和二倍角公式的应用．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考要重视．
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在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2-a2=
bc，且b=
a，则下列关系一定不成立的是（ ）
| 3 |
| 3 |
| A、a=c |
| B、b=c |
| C、2a=c |
| D、a2+b2=c2 |