Question

已知函数f（x）=ln²（1+x）+2ln（1+x）-2x．
（I）证明函数f（x）在区间（0，1）上单调递减；
（II）若不等式(1+

1

n

)2n+a≤e²对任意的n∈N^*都成立，（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．

Answer 1

（I）f′(x)=

2[ln(1+x)-x]

1+x

（1分）
设g（x）=ln（1+x）-x，x∈[0，1）
g′(x)=

1

1+x

-1≤0
函数g（x）在x∈（0，1）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，
∴f'（x）＜0在x∈（0，1）上恒成立，
∴函数f（x）在x∈（0，1）上单调递减．（4分）
（II）不等式(1+

1

n

)2n+a≤e2等价于不等式(n+

a

2

)ln(1+

1

n

)≤1
由1+

1

n

＞1知，

a

2

≤

1

ln(1+ 1 n )

-n，（5分）
设G(x)=

1

ln(x+1)

-

1

x

，x∈(0，1]，（6分）
G′(x)=-

1

(1+x)ln2(1+x)

+

1

x2

=

(1+x)ln2(1+x)-x2

x2(1+x)ln2(1+x)

（7分）
设h（x）=（1+x）ln²（1+x）-x²（x∈[0，1]）（8分）
h'（x）=ln²（1+x）+2ln（1+x）-2x，
由（I）知x∈（0，1）时，h'（x）＜h'（0）=0
∴函数h（x）在x∈（0，1）上单调递减，
h（x）＜h（0）=0
∴G'（x）＜0，∴函数G（x）在x∈（0，1]上单调递减．
∴G(x)≥G(1)=

1

ln2

-1（11分）
故函数G（x）在（{0，1}]上的最小值为G（1）=

1

ln2

-1.
即

a

2

≤

1

ln2

-1，
∴a的最大值为

2

ln2

-2.（12分）