Question

2．已知函数f（x）=2^x且f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，若不等式2a•g（x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是[-$\frac{17}{12}$，+∞）．

Answer 1

分析 先根据已知结合函数的奇偶性求出函数g（x）与f（x）的解析式，然后再代入到2a•g（x）+h（2x）≥0中，分离参数a，将问题转化为函数的最值问题来解．

解答 解：由已知得g（x）+h（x）=2^x…①，
所以g（-x）+h（-x）=2^-x，又因为g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，
所以-g（x）+h（x）=2^-x，…②．
①②联立解得$h（x）=\frac{1}{2}（{2}^{x}+{2}^{-x}）$，$g（x）=\frac{1}{2}（{2}^{x}-{2}^{-x}）$．
代入不等式2a•g（x）+h（2x）≥0得：
a（2^x-2^-x）+$\frac{1}{2}$（2^2x+2^-2x）≥0在[1，2]上恒成立．
令t=${2}^{x}-{2}^{-x}∈[\frac{3}{2}，\frac{15}{4}]$，则2^2x+2^-2x=t²+2．
则原式可化为a≥-$\frac{1}{2}$（t+$\frac{2}{t}$），t∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$]恒成立．
显然当t=$\frac{3}{2}$时，右式取得最大值为-$\frac{17}{12}$，即有a≥-$\frac{17}{12}$．
故答案为[-$\frac{17}{12}$，+∞）．

点评 本题考查了函数奇偶性性质的应用以及不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的常规想法，属于基础题．