Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

 

Answer 1

（I）证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD．

       又因为PA⊥平面ABCD，     所以PA⊥BD，

       所以BD⊥平面PAC．                                    ………………………4分

（Ⅱ）设AC∩BD＝O． 因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2， 所以BO＝1，AO＝CO＝．

如图，以O为坐标原点，OB、OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz，则

       P（0，－，2），A（0，－，0），B（1,0,0），C（0，，0）．

       所以＝（1，，－2），＝（0,2，0）．

 

       设PB与AC所成角为θ，则

       cosθ＝＝＝．     ………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知＝（－1，，0）．

设P（0，－，t） （t ＞0），则＝（－1，－，t）．

设平面PBC的法向量m＝（x，y，z）， 则·m＝0，·m＝0．

所以  令y＝，则x＝3，z＝，    所以m＝．

同理，可求得平面PDC的法向量n＝．

因为平面PBC⊥平面PDC， 所以m·n＝0，即－6＋＝0． 解得t＝．

所以当平面PBC与平面PDC垂直时，PA＝．        ……………………12分