Question

已知函数y=a^x（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）+f（1-x）=1；
（3）求的值．

Answer 1

解：（1）函数y=a^x（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，
而函数y=a^x（a＞0且a≠1）在[1，2]上单调递增或单调递减
∴a+a²=20，得a=4，或a=-5（舍去）
∴a=4
（2）证明：
∴
==
==1
（3）由（2）知，=1，，…
∴
=…+
=1+1+1+…+1=1005
分析：（1）因为函数y=a^x（a＞0且a≠1）在[1，2]上单调递增或单调递减，所以最大值和最小值一定取到端点处，列方程即可解得a值；（2）利用指数运算性质，代入函数解析式即可化简证明；（3）注意到和式中的自变量的特点，利用（2）的结论，将所求分组求和即可
点评：本题考查了指数函数的单调性及其应用，利用指数运算性质化简求值，倒序相加的求和思想