Question

己知直线L：y=k(x－1),双曲线x²－y²=4, 试讨论实数k的取值范围。

(1)直线L与双曲线有两个公共点；

(2)直线L与双曲线有且只有一个公共点；

(3)直线L与双曲线没有公共点。

Answer 1

答案：
解析：

解：由消去y，得 （1－k2）x2+2k2x－k2－4=0。 (1)当1－k2=0即k=±1时，直线L与双曲线的渐近线平行， 以上方程化为2x=5，只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个交点。 (2)当1－k2≠0，即k≠±1时， △=（2k2）2－4(1－k2)(－k2－4) =4(4－3k2)。 (ⅰ)即－<k<且k≠±1时，直线与双曲线有两个公共点； （ⅱ）即k=±时，直线与双曲线只有一个公共点； （ⅲ）即k<－或k>时，直线与双曲线无公共点。 综上所述，当－<k<－1或－1<k<1或1<k<时，直线与双曲线有两个公共点； 当k=±1或k=±时，直线与双曲线有且只有一个公共点； 当k<－或k>时，直线与双曲线无公共点。