Question

某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12-x)²万件.

(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；

(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).

Answer 1

解:(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为

L=(x-3-a)(12-x)²,x∈［9,11］.

(2)L′(x)=(12-x)²-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x),

令L′=0得x=6+a或x=12(不合题意，舍去).

∵3≤a≤5，∴8≤6+a≤.

在x=6+a两侧L′(x)的值由正变负,∴①当8≤6+a＜9，即3≤a＜时，

L_max=L(9)=(9-3-a)(12-9)²=9(6-a).

②当9≤6+a≤,即≤a≤5时，

L_max=L(6+a)=(6+a-3-a)［12-(6+a)］²=4(3 a)³，

∴Q(a)=

答：若3≤a＜，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=9(6-a)(万元)；若≤a≤5，则当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a) =4(3 a)³(万元).