Question

已知函数f(x)=x+

a

x

且f（1）=5．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在（2，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）将f（1）=5代入函数解析式，列方程即可解得a的值；（2）先判断函数f(x)=x+

4

x

在（2，+∞）上是增函数，再利用函数单调性的定义，通过作差法比较函数值的大小的方法，证明函数的单调性即可

解答：解：（1）∵f（1）=1+a=5 
∴a=4．
（2）f(x)=x+

4

x

在（2，+∞）上是增函数．
证明：设2＜x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)=(x1-x2)+

4(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)，
∵x₁＞2，x₂＞2，∴x₁x₂＞4，∴0＜

1

x1x2

＜

1

4

，∴0＜

4

x1x2

＜1，
∴1-

4

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（2，+∞）上为增函数．

点评：本题考查了函数单调性的定义，利用定义证明函数的单调性的方法，作差法比较大小的技巧