Question

已知偶函数y=f（x）满足：当x≥2时，f（x）=（x-2）（a-x），a∈R，当x∈[0，2）时，f（x）=x（2-x）
（1）求当x≤-2时，f（x）的表达式；
（2）若直线y=1与函数y=f（x）的图象恰好有两个公共点，求实数a的取值范围．
（3）试讨论当实数a，m满足什么条件时，函数g（x）=f（x）-m有4个零点且这4个零点从小到大依次成等差数列．

Answer 1

分析：（1）先设x≤-2，则-x≥2，再利用函数是偶函数可求；（2）分a＞2与a≤2进行讨论可求；（3）问题等价于f（x）=m零点x₁，x₂，x₃，x₄，y=f（x）与y=m交点4个且均匀分布，从而可解．

解答：解：（1）设x≤-2，则-x≥2，∴f（-x）=（-x-2）（a+x）
又∵偶函数∴f（x）=f（-x）f（x）=（x+a）（-x-2）（2分）
（2）（Ⅰ）a＞2时x≥2，f（x）=（x-2）（a-x）
f(x)max=f(1+

a

2

)=(

a

2

-1)2（3分）

∴( a 2 -1)2＜1 ∴0＜a＜4 ∴2＜a＜4

（Ⅱ）a≤2时，都满足
综上，所以 a＜4（2分）
（3）f（x）=m零点x₁，x₂，x₃，x₄，y=f（x）与y=m交点4个且均匀分布
（Ⅰ）a≤2时

x1+x2=-2 2x2=x1+x3 x2+x3=0

得x1=3x2，x1=-

3

2

，x2=-

1

2

，x3=

1

2

，x4=

3

2

（2分）
m=

3

4

（Ⅱ）2＜a＜4时，m=

3

4

时
且(

a

2

-1)2＜

3

4

-

3

+2＜a＜

3

+2（2分）
所以 2＜a＜

3

+2时，m=

3

4

（Ⅲ）a=4时m=1时    （1分）
（IV）a＞4时，m＞1

x3+x4=2+a 2x3=x2+x4 x2=-x3

?x4=

2+a

4

，m=(

2+a

4

-2)(a-

2+a

4

)=

3a2-20a+12

16

此时1＜m＜(

a

2

-1)2
所以 a＞

10+4 7

3

ora＜

10-4 7

3

（舍）a＞4且a＞

10+4 7

3

时，m=

3a2-20a+12

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时存在  （2分）
综上：
①a＜2+

3

时，m=

3

4

②a=4时，m=1
③a＞

10+4 7

3

时，m=

3a2-20a+12

16

符合题意（1分）

点评：本题考查函数的性质，解析式的求解及分类讨论的数学思想．