Question

(07年四川卷文)（14分）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数．

（Ⅰ）用表示；

（Ⅱ）若，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅲ）若，，是数列的前项和，证明．

Answer 1

解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．

（Ⅰ）由题可得．

所以曲线在点处的切线方程是：．

即．

令，得．

即．

显然，∴．

（Ⅱ）由，知，同理．

　　　故．

从而，即．所以，数列成等比数列．

故．

即．

从而

所以

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

∴

∴

当时，显然．

当时，

∴

．

　　　综上，．