Question

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有，若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，t∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是________．

Answer 1

（-∞，0]
分析：先由单调性定义判断和证明f（x）在[-1，1]上为增函数，从而求得f（x）的最大值，再转化为关于a的不等式恒成立问题求解．
解答：任取-1≤x₁＜x₂≤1，则
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=•（x₁-x₂）
∵-1≤x₁＜x₂≤1，∴x₁+（-x₂）≠0，
由已知＞0，又x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在[-1，1]上为增函数．
∵f（1）=1，∴对x∈[-1，1]，恒有f（x）≤1．
所以要使f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，t∈[0，1]恒成立，
即要t²-2at+1≥1成立，故t²-2at≥0成立．
∵t∈[0，1]，
∴t≠0时2a≤t，即a≤，解得a∈（-∞，0]．
t=0时，a∈R，
综上，a∈（-∞，0]．
故答案为：（-∞，0]．
点评：本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用及函数最值、恒成立问题的转化化归思想．