Question

已知圆 O：x²+y²=2交x轴正半轴于点A，点F满足，以F为右焦点的椭圆 C的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆 C的标准方程；
（Ⅱ）设过圆 0上一点P的切线交直线 x=2于点Q，求证：PF⊥OQ．

Answer 1

解：（Ⅰ）A（，0），F（1，0）．
椭圆c=1，e=，∴a=，b²=a²-c²=1，
∴椭圆D的方程为．
（Ⅱ）证明：设点P（x₁，y₁），
过点P的圆的切线方程为y-y₁=（x-x₁）
即y=（x-x₁）+y₁．
由x₁²+y₁²=2得，
令x=2得，故点Q
∴K_OQ=，又K_PF=∴K_PF•K_OQ=-1
∴PF⊥OQ．
分析：（Ⅰ）A（，0），F（1，0）．椭圆c=1，e=，由此能求出椭圆D的方程．
（Ⅱ）设点P（x₁，y₁），过点P的圆的切线方程为y-y₁=（x-x₁），由x₁²+y₁²=2得，
令x=2得，故点Q，由此能求出PF⊥OQ．
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．