Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．
（Ⅰ）求证AC•BC=AD•AE：；
（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF=2，CF=4，求AC的长．

Answer 1

分析：（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB都是

AB

所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．
（II）利用切割线定理可得CF²=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得

AF

FC

=

AC

BC

，即可得出．

解答：（I）证明：如图所示，连接BE．
∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．
又∠E与∠ACB都是

AB

所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．
∵AD⊥BC，∠ADC=90°．
∴△ABE∽△ADC，∴

AB

AD

=

AE

AC

，∴AB•AC=AD•AE．
又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．
（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF²=AF•BF，
∵AF=2，CF=4，∴4²=2BF，解得BF=8．
∴AB=BF-AF=6．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，
∴

AF

FC

=

AC

BC

，∴AC=

AF•BC

CF

=3．

点评：本题考查了圆的性质、三角形相似、切割线定理，属于中档题．