Question

4．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）在给定的坐标系中画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数的周期求出ω的值，可得函数的解析式．
（Ⅱ）由条件利用正弦函数的增区间求得函数f（x）的单调增区间．
（Ⅲ）用五点法作出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
再根据函数的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，可得2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即 φ=kπ-$\frac{π}{6}$，∴φ=-$\frac{π}{6}$，
故f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得 kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈z．
（Ⅲ）用五点法作函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象：
列表：

2x-$\frac{π}{6}$	-$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{11π}{6}$
x	0	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	π
y	-$\frac{1}{2}$	0	1	0	-1	-$\frac{1}{2}$

作图：

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的周期性、单调性，用五点法作出正弦函数在一个周期上的简图，属于中档题．