Question

6．函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）cos（ωx-$\frac{π}{4}$）+cos（ωx+$\frac{π}{4}$）sin（ωx-$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期为24π，则f（π）=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由条件利用两角和差的正弦公式化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值，可得f（π）=sin$\frac{π}{12}$=sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）cos（ωx-$\frac{π}{4}$）+cos（ωx+$\frac{π}{4}$）sin（ωx-$\frac{π}{4}$）
=sin[（ωx+$\frac{π}{4}$）+（ωx-$\frac{π}{4}$）]=sinωx 的最小正周期为24π，
∴$\frac{2π}{ω}$=24π，∴ω=$\frac{1}{12}$，f（x）=sin$\frac{x}{12}$，
则f（π）=sin$\frac{π}{12}$=sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$-cos$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．