Question

如图，在四棱锥A-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点.

（1）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；

（2）求证：平面BDE⊥平面SAC；

（3）当二面角E-BD-C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由.

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接，由条件可得∥.

        因为平面_，平面，

        所以∥平面.      

（Ⅱ）法一：证明：由已知可得，,是中点，

所以，

又因为四边形是正方形，所以.

因为，所以.

又因为，所以平面平面.   -

（Ⅱ）法二：证明：由（Ⅰ）知，.

建立如图所示的空间直角坐标系.

设四棱锥的底面边长为2，

则，，，

，，.

所以，.

设（），由已知可求得.

所以，.

设平面法向量为，

则 即  

令，得. 

易知是平面的法向量.

因为，

所以，所以平面平面.          -------------------（8分）

（Ⅲ）解：设（），由（Ⅱ）可知，

平面法向量为.

因为，

所以是平面的一个法向量.

由已知二面角的大小为.

所以，

所以，解得.

所以点是的中点.                                       -----------------（12