题目内容
(本小题满分12分) 已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在
轴上，离心率为
，且过点
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）
过椭圆C的左焦点
的直线
与椭圆C相交于
两点，若
的面积为
，求圆心在原点O且与直线相切的圆的方程．
【答案】
（1）
；（2）
.
【解析】(1)由离心率e和椭圆经过点
,可得关于a,b,c的两个方程，再结合
,可求出a,b的值.
(2)讨论斜率不存在时，和斜率存在时两种情况，当斜率存在时，
可设出直线方程
与椭圆方程联立，消去y，得
,然后根据韦达定理和弦长公式求出|AB|的长度，再根据点到直线的距离公式求出O到|AB|的距离，从而表示出三角形AOB的面积，根据面积建立关于k的方程，解方程即可.但要注意验证判别式.
解：(1) 设椭圆C的方程为
，由题意可得
，
又
，所以
．……………2分
又椭圆C经过点，所以
，解得
．……………4分
所以
，
，则椭圆C的方程为．……………6分
(2) 解法一：当直线
轴时，经过计算可以得到：
，
或
，
，
，不符合题意．
……………7分
当直线
与
轴不垂直时，设直线
的方程为，
由
，消去
，得． ……………8分
显然
恒成立，设
，
则
．……………9分
又
．
又圆
的半径
，
所以
．……………10分
即
，解得
(舍去)，所以
．……11分
故圆
的方程为
．…………………12分
解法二：设直线的方程为
．
由
，消去，得
，显然
恒成立．……8分
设
，则
．……………9分
所以
，
所以
．……………10分
化简，得
，解得
(舍去)．
又圆的半径
，所以
．……………11分
故圆的方程为．…………………12分
练习册系列答案
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，且
。①求
的最大值及最小值；②求
、
、
.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：
