Question

已知等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），等比数列{b_n}的公比为q（q≠1），a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₅=b₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对于一切正整数n，都有a_n=log_ab_n+b成立，求常数a和b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₅=b₃，利用基本量法，建立方程，求得公差与公比，即可求得数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）对于一切正整数n，都有a_n=log_ab_n+b成立，即（2-log_a3）n+（log_a3-b-1）=0对一切正整数恒成立，由此可求a，b的值．

解答：解：（Ⅰ）由条件a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₅=b₃，可得1+d=q，1+4d=q²，解得d=2，q=3
∴an=2n-1，bn=3n-1；
（Ⅱ）对于一切正整数n，都有a_n=log_ab_n+b成立，
即（2-log_a3）n+（log_a3-b-1）=0对一切正整数恒成立．
∴

loga3=2 loga3=b+1

…（11分）         
a＞0，可得：a=

3

，b=1．

点评：本题考查数列的通项，考查恒成立问题，解题的关键是确定数列的通项，属于中档题．