Question

已知数列{a_n}满足递推式：an+1-

2

an

=an-

2

an-1

(n≥2)，a1=1，a2=3
（1）若bn=

1

1+an

，求数列{bn}的通项公式；
（2）求证：|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_n-2|＜3，（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由an+1-

2

an

=an-

2

an-1

(n≥2)得an+1-

2

an

=1，从而可求通项公式；
（2）由（1）知

1

1+an

=

1

3

[1-(-

1

2

)n]，an+1=

3

1-(- 1 2 )n

，从而有

|an-2|=3| (- 1 2 )n 1-(- 1 2 )n |= 3 |(-2)n-1|

，故可得证．

解答：解：（1）∵an+1-

2

an

=an-

2

an-1

═a2-

2

a1

=3-2=1，∴an+1-

2

an

=1

∴bn=

1

3

[1-(-

1

2

)n]（5分）
（2）由（1）知

1

1+an

=

1

3

[1-(-

1

2

)n]，∴an+1=

3

1-(- 1 2 )n

∴|an-2|=3| (- 1 2 )n 1-(- 1 2 )n |= 3 |(-2)n-1| ，|a2k-1-2|= 3 22k-1+1 ，|a2k-2|= 3 22k-1 ， ∴|a2k-1-2|+|a2k-2|=3( 1 22k-1+1 + 1 22k-1 )=3• 22k-1+22k 24k-1+22k-1-1 ＜3• 22k-1+22k 24k-1 =3( 1 22k-1 + 1 22k )

∴|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_2k-1-2|+|a_2k-2-2|＜3(

1

2

+

1

22

+…+

1

22k

)=3(1-

1

22k

)＜3
而|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_2k-2|+|a_2k+1-2|＜3(1-

1

22k

)+

3

22k+1+1

=3 (1+

1

22k+1+1

-

1

22k

)
∵2^2k+1+1＞2^2k，∴

1

22k+1+1

＜

1

22k

，∴|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_n-2|＜3

点评：本题主要考查数列的通项公式，绝对值不等式的证明，难度较大．