题目内容
下列命题是否正确？正确的给出证明，不正确的给予说明.(1)a·b=0,则a=0或b=0;
(2)(a·b)·c=a(b·c);
(3)p2·q2=(p·q)2;
(4)|p+ q|·|p-q|=|p2-q2|;
(5)若a与(a·b)c-(a·c)b均不为0，则它们必垂直.
解析：(1)此命题不正确.∵a⊥b时a·b=0,?
∴a·b=0得不出a=0或b=0，只能得出a⊥b.?
(2)此命题不正确.∵a·b为一数量，∴(a·b)c为一向量，此向量的模为|(a·b)c|，与c共线；而a(b·c)也是一向量，但此向量与a共线，∴(a·b)c≠a(b·c).但这两个向量的模相等.由此可知，向量的数量积不满足结合律.?
(3)此命题不正确.∵p2·q2=|p|2·|q|2,?
而(p·q)2=(|p|·|q|·cos〈p,q〉)2=|p|2·|q|2·cos2〈p,q〉.
∴当且仅当p∥q时，p2·q2=(p·q)2.?
(4)此命题是假命题.∵|p2-q2|=|(p+q)(p-q)|=|p+q|·|p-q||cosθ|〔其中θ为向量(p+q)与(p-q)的夹角〕,∴当且仅当θ=0或π时原等式才成立，而仅当p与q共线时，p+q与p-q才会共线.∴一般情况下，当p、q不共线时，|p+q|·|p-q|≠|p2-q2|.由此命题可知，对于向量a、b,|a|·|b|=|ab|a∥b.?
(5)正确.∵a·［(a·b)c-(a·c)b］?
=a·(a·b)c-a·(a·c)b?
=(a·b)(a·c)-(a·c)(a·b)=0，?
又由于a与(a·b)c-(a·c)b均为非零向量，?
∴a与(a·b)c-(a·c)b垂直.
练习册系列答案
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均相等．