Question

计算下列各题
（Ⅰ）已知函数f(x)=

ln(2x+1)

x

，求f′（2）；
（Ⅱ）求

∫	π 2 -  π 2

(xcosx-6sinx+e

x

2

)dx．
（Ⅲ）已知

.

z

为z的共轭复数，且(1+2i)

.

z

=4+3i，求

z

. z

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数的运算法则对原函数求导，然后在导函数中取x=2进行计算；
（Ⅱ）利用和的积分等于积分的和拆开，然后利用奇函数在对称区间上的定积分为0，把剩余部分求出被积函数的原函数再利用微积分基本定理求解；
（Ⅲ）把给出的等式两边同时除以复数1+2i，然后利用复数的除法运算进行化简得到复数z，求出

.

z

，代入

z

. z

后再利用复数的除法运算即可求得结果．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=

ln(2x+1)

x

，所以f′(x)=

2

2x2+x

-

ln(2x+1)

x2

，
则f′(2)=

2

2×22+2

-

ln(2×2+1)

22

=

1

5

-

ln5

4

．
（Ⅱ）

∫

π 2 - π 2

(xcosx-6sinx+e

x

2

)dx
=

∫

π 2 - π 2

(xcosx-6sinx)dx

+∫

π 2 - π 2

e

x

2

dx
=0+2

e x 2 |

π 2 - π 2

=2e

π

4

-2e-

π

4

．
（Ⅲ）由(1+2i)

.

z

=4+3i，
得：

.

z

=

4+3i

1+2i

=

(4+3i)(1-2i)

(1+2i)(1-2i)

=

10-5i

5

=2-i
所以z=2+i．
 则

z

. z

=

2+i

2-i

=

(2+i)2

(2-i)(2+i)

=

3+4i

5

=

3

5

+

4

5

i．

点评：本题考查了导数的运算，考查了定积分，考查了复数的除法运算，涉及基础性的知识较多，是计算类型题目，解答此题的关键是题目（Ⅱ）的计算，奇函数在对称区间上的定积分等于0用的灵活，该题是中低档题．