Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b²+c²-a²=bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设函数f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

，当f（B）取最大值

3

2

时，判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理求得cosA=

1

2

，根据 A的范围，求求出 A的大小．
（Ⅱ）利用二倍角公式化简函数f（x）的解析式为sin（x+

π

6

），再利用角B+

π

6

的范围，确定当f（B）取最大值

3

2

时角A和角 C 的大小，从而判断三角形的形状．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b²+c²-a²=bc，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA可得cosA=

1

2

．
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

．
（Ⅱ）函数f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+

1

2

=sin（x+

π

6

）+

1

2

，
∵A=

π

3

，∴B∈（ 0，

2π

3

），∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

．
∴当B+

π

6

=

π

2

，即 B=

π

3

 时，f（ B）有最大值是

3

2

．
又∵A=

π

3

，∴C=

π

3

，∴△ABC为等边三角形．

点评：本题考查余弦定理的应用，二倍角及两角和差的三角公式的应用，属于中档题．