Question

（2012•浙江模拟）椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F₁，F₂分别是其左、右焦点，若椭圆上存在点P满足|PF₁|=2|PF₂|，则该椭圆离心率的取值范围是

[

1

3

，1）

．

Answer 1

分析：由椭圆的定义可得 e（x+

a2

c

）=2•e（

a2

c

-x），解得x=

a

3e

，由题意可得-a≤

a

3e

≤a，解不等式求得离心率e的取值范围．

解答：解：设点P的横坐标为x，∵|PF₁|=2|PF₂|，则由椭圆的定义可得 e（x+

a2

c

）=2•e（

a2

c

-x），
∴x=

a

3e

，由题意可得-a≤

a

3e

≤a，
∴

1

3

≤e＜1，则该椭圆的离心率e的取值范围是[

1

3

，1），
故答案为：[

1

3

，1）

点评：本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得 e（x+

a2

c

）=2•e（

a2

c

-x），是解题的关键．