Question

设函数f（x）=lnx-px+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有f（x）≤0，求p的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-px+1，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），（2分）
当p≤0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）（3分）
当p＞0时，令f'（x）=0，∴x=∈（0，+∞），f'（x）、f（x）随x的变化情况如表：
f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为（6分）
（Ⅱ）当p＞0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，
要使f（x）≤0恒成立，只需，
∴，p≥1
∴p的取值范围为[1，+∞）（12分）
分析：（I）先求函数的定义域，对函数求导，分别解f′（x）＞0，f′（x）＜0
（II）结合（I）p＞0时函数f（x）的单调性，求函数f（x）的最大值，对任意的x＞0，恒有f（x）≤0?f（x）_max≤0，代入求解p的取值范围．
点评：本题考查了导数的应用：求函数的单调区间，求函数的极值，在求解中不能忽略了对函数定义域的判定，当函数中含有参数时，要注意对参数的分类讨论，本题又考查了函数的恒成立问题，这也是高考在导数部分的重点考查的知识点．