Question

19．已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若$x∈[0，\frac{π}{2}]$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的倍角公式将函数进行化简即可求函数f（x）的最小正周期；
（2）若$x∈[0，\frac{π}{2}]$，结合三角函数的单调性和图象即可求f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin²x+2sinxcosx
=1-cos2x+sin2x=1+$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
则函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）若$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
则0≤2x≤π，-$\frac{π}{4}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，
则sin（-$\frac{π}{4}$）≤sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤sin$\frac{π}{2}$，
即-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤1，
-1≤$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
则0≤1+$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤1+$\sqrt{2}$，
即f（x）的值域为[0，1+$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查三角函数周期和值域的求解，利用三角函数的倍角公式结合辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．