Question

（12分）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点．
①为坐标原点，求证：；
②设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值．.

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）时，四边形的面积最小，最小值是．

试题分析：（1）先利用已知条件设出直线AB的方程，与抛物线联立方程组，然后结合韦达定理表示出向量的数量积，进而证明。
（2）根据由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线的距离相等，得到四边形的面积等于，结合三角形面积公式得到。
（Ⅰ）解：依题意，设直线方程为．  …………1分
将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得．……3分
设，，所以 ，．
=1，
故．………………6分
（Ⅱ）解：由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线的距离相等，所以四边形的面积等于．……8分
因为   ……………9分
，…………11分                                 
所以 时，四边形的面积最小，最小值是．  ……12分
点评：对于几何中的四边形的面积一般运用转换与化归的思想来求解得到。