Question

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²-2cos²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在[

π

4

，

3π

4

]上的值域．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可得f（x）=sin²x+2sinxcosx+cos²x-2cos²x
=1+sin2x-2cos²x=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）
故函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，可得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，
故函数的单调递增区间为：[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，∴2x∈[

π

2

，

3π

2

]，∴2x-

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
故sin（2x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，所以

2

sin（2x-

π

4

）∈[-1，

2

]，
故函数f（x）在[

π

4

，

3π

4

]上的值域为：[-1，

2

]