Question

设直线2x-y+1=0与椭圆

x2

3

+

y2

4

=1相交于A、B两点．
（1）线段AB中点M的坐标及线段AB的长；
（2）已知椭圆具有性质：设A、B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，并记为k_AB，k_OM，则k_AB?k_OM为定值．试对双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

Answer 1

（1）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则

2x-y+1=0 x2 3 + y2 4 =1

?

4

3

x2+x-

3

4

=0?

x1+x2=- 3 4 x1x2=- 9 16

（2分）
所以M(-

3

8

，

1

4

)
|AB|=

1+22

| x1-x2|=

5

(x1+x2)2-4x1x2

=

15

4

（2）设A、B是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，并记为k_AB，k_OM，则k_AB?k_OM为定值．
证明：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），分别代入双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1，再相减后可得：

1

a2

(x1+x2)(x1-x2)-

1

b2

(y1+y2)(y1-y2)=0
设M（x₀，y₀），则

x1+x2=2x0 y1+y2=2y0

，代入上式可得

y1-y2

x1-x2

=

b2

a2

×

x0

y0

即k_AB?k_OM=

b2

a2

∴定值为

b2

a2