Question

已知函数f（x）=|

1

|x|

-1|，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有6个不同的实数解，则b，c的取值情况不可能的是（　　）

A．-1＜b＜0，c=0

B．1+b+c＞0，c＞0

C．1+b+c＜0，c＞0

D．1+b+c=0，0＜c＜1

Answer 1

分析：作出函数f（x）的图象，根据图象确定b的条件即可．

解答：解：作出函数f（x）的图象如图：
设t=f（x），则由图象可知，当t≥1时，t=f（x）有两个交点，
当t=0时，t=f（x）有两个交点，
当0＜t＜1时，t=f（x）有4个交点．
则f²（x）+bf（x）+c=0等价为t²+bt+c=0，
若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有6个不同的实数根，
则对应t²+bt+c=0的两个根t₁，t₂满足①t₁=0，0＜t₂＜1，
②t₁≥1，0＜t₂＜1，
若①t₁=0，0＜t₂＜1，则c=0，此时t²+bt=0，t=-b，满足0＜-b＜1，即-1＜b＜0．此时为A．
②当t₁=1时，0＜t₂＜1，此时1+b+c=0，t₁t₂=c，则0＜c＜1．此时为D．
当t₁＞1，0＜t₂＜1，此时t₁t₂=c＞0，t₁+t₂=-b，
不妨设此时t₁=2，t₂=

1

2

，
则c=t₁t₂=2×

1

2

=1，
t₁+t₂=-b=2+

1

2

=

5

2

，∴b=-

5

2

，
∴1+b+c=1+1-

5

2

=-

1

2

＜0，此时C满足，但B不成立，
∴b，c的取值情况不可能的是B．
故选：B．

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．综合性较强，难度较大．